Question

已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y²=x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为

2-

3

或2+

3

．

Answer 1

分析：根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，与抛物线联立，求交点的坐标，从而得解．

解答：解：y²=x的焦点F（

1

4

，0）
等边三角形的一个顶点位于抛物线y²=x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，
则等边三角形关于x轴对称，两个边的斜率k=±tan30°=±

3

3

，其方程为：y=±

3

3

（x-

1

4

），
与抛物线y²=x联立，可得

1

3

(x-

1

4

)2=x
∴x=

7±4 3

4

当x=

7+4 3

4

时，y=±

2+ 3

2

，∴等边三角形的边长为2+

3

当x=

7-4 3

4

时，y=±

2- 3

2

，∴等边三角形的边长为2-

3

故答案为：2+

3

或2-

3

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线与正三角形的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题．