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设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:

①f(-1)=f(1)=0;

②对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)判断函数g(x)=是否满足题设条件;

(3)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|.

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

答案:
解析:

  (1)证明:由题设条件可知,当x∈[-1,1]时,有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.

  (2)答:函数g(x)满足题设条件.验证如下:g(-1)=0=g(1).

  对任意u,v∈[-1,1],

  当u,v∈[0,1]时,有|g(u)-g(v)|=|(1-u)-(1-v)|=|u-v|;

  当u,v∈[-1,0]时,同理有|g(u)-g(v)|=|u-v|;

  当u·v<0时,不妨设u∈[-1,0),v∈(0,1],有|g(u)-g(v)|=|(1+u)-(1-v)|=|u+v|≤|v-u|=|u-v|.

  所以,函数g(x)满足题设条件.

  (3)答:这样的函数不存在.理由如下:

  假设存在f(x)满足条件,则由f(-1)=f(1)=0得

  |f(1)-f(-1)|=0.  ①

  由于对任意u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|,

  所以,|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2.  ②

  ①与②矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在.


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(1)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)证明:对任意的μ、v∈[-1,1],都有

|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x),且使得:

|f(μ)-f(v)|<-v|,当μ、v∈[0,].

|f(μ)-f(v)|<-v|,当μ、v∈[,1].

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

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