【题目】有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习,假设该名牌大学有以下条件之一均可录取:①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队(集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔):②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线,③2020年6月高考达到该校录取分数线(该校录取分数线高于重点线),该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表
省数学竞赛一等奖 | 自主招生通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.7 |
若该学生数学竞赛获省一等奖,则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队,则提前录取,若未被录取,则再按②、③顺序依次录取:前面已经被录取后,不得参加后面的考试或录取.(注:自主招生考试通过且高考达重点线才能录取)
(Ⅰ)求该学生参加自主招生考试的概率;
(Ⅱ)求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望;
(Ⅲ)求该学生被该校录取的概率.
【答案】(Ⅰ)0.9.(Ⅱ)分布列见解析;数学期望3.3;(Ⅲ)0.838
【解析】
(Ⅰ)设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为,
则
,然后利用互斥事件的概率公式进行求解;
(Ⅱ)的可能取值为2,3,4,然后分别求出相应的概率,列出分布列,根据数学期望公式进行求解即可;
(Ⅲ)设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C、D,该学生被该校录取的事件分为三种事件,AB、C、D,分别求出对应的概率,最后相加即可.
解:(Ⅰ)设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为,
,
则,
,
.
即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.
(Ⅱ)该该学生参加考试的次数的可能取值为2,3,4
;
;
.
所以的分布列为
2 | 3 | 4 | |
0.1 | 0.5 | 0.4 |
.
(Ⅲ)设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取,自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为,
.
,
,
,
所以该学生被该校录取的概率为.
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【题目】已知椭圆:
右焦点为
,右顶点为
,点
在椭圆上,且
轴,直线
交
轴于点
,若
;
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点且斜率为
的直线
与椭圆在
轴上方的交点为
,圆
同时与
轴和直线
相切,圆心
在直线
上,且
. 求椭圆的方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
与原点
为圆心的圆相交所得弦长为
.
(1)若直线与圆
切于第一象限,且直线
与坐标轴交于点
,当
面积最小时,求直线
的方程;
(2)设是圆
上任意两点,点
关于
轴的对称点为
,若直线
分别交于
轴与点
和
,问
是否为定值?若是,请求处该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为
,点A的坐标为
,且
.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l: 与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若
(O为原点) ,求k的值.
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【题目】近日,某地普降暴雨,当地一大型提坝发生了渗水现象,当发现时已有的坝面渗水,经测算,坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为
元,且渗水面积以每天
的速度扩散.当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面,假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积
,该部门需支出服装补贴费为每人
元,劳务费及耗材费为每人每天
元.若安排
名人员参与抢修,需要
天完成抢修工作.
写出
关于
的函数关系式;
应安排多少名人员参与抢修,才能使总损失最小.(总损失=因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M为PC中点.求证:
(1)PA∥平面MDB;
(2)PD⊥BC.
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