Question

已知数列各项均为正数，，且对于正整数时，都有。

    （I）当，求的值，并求数列的通项公式；

    （II）证明：对于任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有。

Answer 1

解：（I）令，则

    将代入上式，得（*）

    ∴，，

    且，

    故为等比数列，且，

∴，∴。

    （II）由题设值仅与有关，设为。

    则，

考察函数，则在定义域上有

    故对恒成立，又，

    注意到，解上式得

    ，

    取，即有。