Question

已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设圆M过点A（0，2），且圆心M（a，b）在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E（x₁，0）、G（x₂，0），求线段EG的长度．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义可知曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线，进而求得p，则抛物线方程可得．
（2）表示出圆的半径，则圆的方程可得，令y=0，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁•x₂的表达式，进而求得（x₁-x₂）²，把点M代入抛物线方程求得a和b的关系，进而求得|x₁-x₂|的值．

解答：解：（1）依题意知，曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线
∵焦点到准线的距离p=2
∴曲线C方程是x²=4y
（2）∵圆M的半径为

a2+(b-2)2

∴其方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0
则x₁+x₂=2a，x₁•x₂=4b-4
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（2a）²-4（4b-4）=4a²-16b+16
又∵点M（a，b）在抛物线x²=4y上，∴a²=4b，
∴（x₁-x₂）²=16，即|x₁-x₂|=4
∴线段EG的长度是4．

点评：本题主要考查了圆方程得综合应用，抛物线的定义，抛物线的简单性质．