Question

已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求

PQ

•

MQ

的最小值；
（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆心的坐标，利用对称的特征：①点与对称点连线的中点在对称轴上；②点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于
-1，求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，从而写出⊙C方程．
（Ⅱ）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．
（Ⅲ）设出直线PA和直线PB的方程，将它们分别与⊙C的方程联立方程组，并化为关于x的一元二次方程，由x=1一定是该方程的解，可求得A，B的横坐标（用k表示的），化简直线AB的斜率，将此斜率与直线OP的斜率作对比，得出结论．

解答：解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得

a=0 b=0

（3分）
则圆C的方程为x²+y²=r²，将点P的坐标代入得r²=2，
故圆C的方程为x²+y²=2（5分）
（Ⅱ）设Q（x，y），则x²+y²=2，

PQ

•

MQ

=(x-1，y-1)•(x+2，y+2)（7分）
=x²+y²+x+y-4=x+y-2，令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，
∴

PQ

•

MQ

=

2

cosθ+

2

sinθ-2=2sin（θ+

π

4

）-2，∴（θ+

π

4

）=2kπ-

π

2

时，2sin（θ+

π

4

）=-2，
所以

PQ

•

MQ

的最小值为-2-2=-4． （10分）
（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，
得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0（11分）
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得xA=

k2-2k-1

1+k2

（13分）
同理，xB=

k2+2k-1

1+k2

，所以kAB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_OP ，
所以，直线AB和OP一定平行（15分）

点评：本题考查圆的标准方程的求法，两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用．