Question

已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求⊙C的方程；
（2）设Q为⊙C上的一个动点，求

PQ

•

MQ

的最小值．

Answer 1

分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．
（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．

解答：解：（1）设圆心C（a，b），则

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得 a=0，b=0  
则圆C的方程为x²+y²=r²，
将点P的坐标（1，1）代入得r²=2，
故圆C的方程为x²+y²=2；
（2）设Q（x，y），则x²+y²=2，

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2，
令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，
∴

PQ

•

MQ

=

2

cosθ+

2

sinθ-2=2sin（θ+

π

4

）-2，
∴θ+

π

4

=2kπ-

π

2

时，sin（θ+

π

4

）的最小值为-1，
所以

PQ

•

MQ

的最小值为-2-2=-4．

点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．