Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），若数列{a_n+1+λa_n}是等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

；
（Ⅲ）求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

（n∈N*）

Answer 1

分析：（I）根据数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，建立等式关系，化简整理得λ=

6

1+λ

得λ=2或λ=-3，当λ=2时，得a_n+1+2a_n=15•3^n-1①，当λ=-3时，得a_n+1-3a_n=-10（-2）^n-1②，①-②可求出a_n；
（II）当k为奇数时，作差变形得

1

ak

+

1

ak+1

-

4

3k+1

=

1

3k+2k

+

1

3k+1-2k+1

-

4

3k+1

＜0，从而得到结论；
（III）由（Ⅱ）知k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

=

1

3k

+

1

3k+1

，讨论n的奇偶，分别进行证明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n+1+λa_n}是等比数列
∴

an+1+λan

an+λan-1

=

an+6an-1+λan

an+λan-1

=

(1+λ)an+6an-1

an+λan-1

=(1+λ)

an+ 6 1+λ an-1

an+λan-1

应为常数
∴λ=

6

1+λ

得λ=2或λ=-3
当λ=2时，可得{a_n+1+2a_n}为首项是a₂+2a₁=15，公比为3的等比数列，
则a_n+1+2a_n=15•3^n-1①
当λ=-3时，{a_n+1-3a_n}为首项是a₂-3a₁=-10，公比为-2的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=-10（-2）^n-1②
①-②得，a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ
（Ⅱ）当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

-

4

3k+1

=

1

3k+2k

+

1

3k+1-2k+1

-

4

3k+1

=

-7×6k+8×4k

3k+1•(3k+2k)(3k+1-2k+1)

=

4k•[8-7•( 3 2 )k]

3k+1(3k+2k)(3k+1-2k+1)

＜0
∴

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

=

1

3k

+

1

3k+1

①当n为偶数时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

②当n为奇数时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

+

1

an+1

1

3

+

1

32

+…+

1

3n+1

=

1

2

(1-

1

3n+1

)＜

1

2

．

点评：本题主要考查了等比数列，以及利用作差法比较大小和分类讨论的思想，属于中档题．