Question

17．（1）求与直线3x+4y-7=0垂直．且与原点的距离为6的直线方程；
（2）求经过直线l₁：2x+3y-5=0与l₂：7x+15y+1=0的交点．且平行于直线 x+2y-3=0的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设与直线3x+4y-7=0垂直的直线方程为：4x-3y+m=0．又与原点的距离为6，可得$\frac{|m|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}$=6，解得m即可．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y-5=0}\\{7x+15y+1=0}\end{array}\right.$，解得交点P的坐标．设平行于直线 x+2y-3=0的直线方程为 x+2y+n=0．代入即可得出．

解答 解：（1）设与直线3x+4y-7=0垂直的直线方程为：4x-3y+m=0．
又与原点的距离为6，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}$=6，解得m=±30．
∴满足条件的直线方程为：4x-3y±30=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y-5=0}\\{7x+15y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{26}{3}}\\{y=-\frac{37}{9}}\end{array}\right.$．
设平行于直线 x+2y-3=0的直线方程为 x+2y+n=0．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{26}{3}}\\{y=-\frac{37}{9}}\end{array}\right.$代入上述方程可得：n=-$\frac{4}{9}$．
∴要求的直线方程为：9x+18y-4=0．

点评 本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、直线的交点、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．