Question

8．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$．
（1）求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
（2）求$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△A′B′{C}^{′}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用平行线分线段成比例定理及其推论能证明A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC．
（2）由A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC，结合图形推导出∠BAC=∠B′A′C′，∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，从而得到△ABC∽△A′B′C′，由此利用面积比等于相似比的平方，根据$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，能求出$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△A′B′{C}^{′}}}$的值．

解答 （1）证明：∵AA′∩BB′=O，且$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，
∴A′B′∥AB，
∵AA′∩CC′=0，且$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，
∴A′C′∥AC，
∵BB′∩CC′=O，且$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，
∴B′C′∥BC．
（2）解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，且A′B′和AB、A′C′和AC方向相反，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
同理，∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△A′B′{C}^{′}}}$=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查线线平行的证明，考查两三角形面积比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平行线分线段成比例定理及其推论、面积比等于相似比的平方的合理运用，注意空间思维能力的培养．