Question

16．数列{a_n}满足a_n=-a_n-1+16a_n-2-20a_n-3，n≥3，已知初始值a₀=0，a₁=1，a₂=-1，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对a_n=-a_n-1+16a_n-2-20a_n-3（n≥3）变形可知a_n+3a_n-1-10a_n-2=2（a_n-1+3a_n-2-10a_n-3）（n≥3），进而可知数列{a_n+2+3a_n+1-10a_n}是首项为4、公比为2的等比数列，从而a_n+2+3a_n+1-10a_n=2ⁿ⁺¹，对其两边同时除以2ⁿ⁺²得$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，并变形可知$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{2}$，计算可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，再次变形的$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{7}$-$\frac{5}{49}$=-$\frac{5}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$），进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$}是首项为$\frac{25}{98}$、公比为-$\frac{5}{2}$的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n=-a_n-1+16a_n-2-20a_n-3（n≥3），
∴a_n+3a_n-1-10a_n-2=2（a_n-1+3a_n-2-10a_n-3）（n≥3），
又∵a₀=0，a₁=1，a₂=-1，
∴a₃+3a₂-10a₁=2（a₂+3a₁-10a₀）=2（-1+3-0）=4，
∴数列{a_n+2+3a_n+1-10a_n}是首项为4、公比为2的等比数列，
∴a_n+2+3a_n+1-10a_n=2ⁿ⁺¹，
两边同时除以2ⁿ⁺²，得：$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{2}$=…=$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{1}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{7}$-$\frac{5}{49}$=-$\frac{5}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$），
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$-$\frac{1}{7}$-$\frac{5}{49}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{7}$-$\frac{5}{49}$=$\frac{25}{98}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$}是首项为$\frac{25}{98}$、公比为-$\frac{5}{2}$的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$=$\frac{25}{98}$•$（-\frac{5}{2}）^{n-1}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=[$\frac{n}{7}$+$\frac{5}{49}$+（-1）^n-1•$\frac{{5}^{n+1}}{49•{2}^{n}}$]•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．