Question

4．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上取三点，其横坐标满足x₁+x₃=2x₂，三点与某一焦点的连线段长分别为r₁，r₂，r₃．则r₁，r₂，r₃满足（　　）

• A． r₁，r₂，r₃成等差数列
• B． $\frac{1}{{r}_{1}}$+$\frac{1}{{r}_{2}}$=$\frac{2}{{r}_{3}}$
• C． r₁，r₂，r₃成等比数列
• D． 以上结论全不对

Answer 1

分析 由椭圆的第二定义可得：$\frac{{r}_{1}}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}}=e$，化为r₁=a-ex₁，同理可得：r₂=a-ex₂，r₃=a-ex₃．利用x₁+x₃=2x₂，代入化简即可得出．

解答 解：由椭圆的第二定义可得：$\frac{{r}_{1}}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}}=e$，化为r₁=a-ex₁，
同理可得：r₂=a-ex₂，r₃=a-ex₃，
∵x₁+x₃=2x₂，
∴$\frac{a-{r}_{1}}{e}$+$\frac{a-{r}_{3}}{e}$=2$\frac{a-{r}_{2}}{e}$，
化为r₁+r₃=2r₂．
∴r₁，r₂，r₃成等差数列．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的第二定义及其性质、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．