Question

19．己知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=21og₂（1-x）．
（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；
（2）用函数单调性的定义证明：函数g（x）在（0，1）上是减函数；
（3）若关于x的方程f（2^x）=m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x），g（x）的奇偶性便有-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），联立f（x）+g（x）=2log₂（1-x）便可解出f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$，g（x）=$lo{g}_{2}（1-{x}^{2}）$；
（2）根据减函数的定义，设任意的x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，然后作差，可以得出$1-{{x}_{1}}^{2}＞1-{{x}_{2}}^{2}$，根据对数函数的单调性便可得出g（x₁）＞g（x₂），从而得出g（x）在（0，1）上单调递减；
（3）求出$f（{2}^{x}）=lo{g}_{2}（-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}）$，根据1-2^x＞0便可得出1+2^x的范围，从而得出-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$的范围，根据对数函数的单调性便可得出f（2^x）的范围，从而便可得出m的取值范围．

解答 解：（1）根据题意：f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x）；
∴-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），联立f（x）+g（x）=2log₂（1-x）得：
f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$，g（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）=$lo{g}_{2}（1-{x}^{2}）$；
即$f（x）=lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}，g（x）=lo{g}_{2}（1-{x}^{2}）$；
（2）设x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，则：
$g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）=lo{g}_{2}（1-{{x}_{1}}^{2}）-lo{g}_{2}（1-{{x}_{2}}^{2}）$；
∵0＜x₁＜x₂＜1；
∴${{x}_{1}}^{2}＜{{x}_{2}}^{2}$；
∴$1-{{x}_{1}}^{2}＞1-{{x}_{2}}^{2}$；
∴$lo{g}_{2}（1-{{x}_{1}}^{2}）＞lo{g}_{2}（1-{{x}_{2}}^{2}）$；
∴g（x₁）＞g（x₂）；
∴g（x）在（0，1）上是减函数；
（3）$f（{2}^{x}）=lo{g}_{2}\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=lo{g}_{2}（-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}）$；
∵1-2^x＞0；
∴0＜2^x＜1；
∴$\frac{1}{2}＜\frac{1}{1+{2}^{x}}＜1$；
∴$0＜-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}＜1$；
∴f（2^x）＜0；
∴m＜0；
∴m的取值范围为（-∞，0）．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，对数的运算，以及减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较g（x₁），g（x₂），对数函数的单调性，分离常数法的运用．