Question

9．已知正四棱台上底面边长为4cm，下底面边长为10cm，侧棱为5cm，求它的斜高和体积．

Answer 1

分析 如图：在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，找出高和斜高，分别用勾股定理求出斜高和高．然后求解体积．

解答 解：如图：正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，高h=A₁O，斜高 h′=A₁E，OE=$\frac{10-4}{2}$=3cm．AE=OE=3cm，侧棱AA₁=5cm，A₁E=$\sqrt{{{AA}_{1}}^{2}-{AE}^{2}}$=4cm．A₁O=$\sqrt{{{AA}_{1}}^{2}-{OE}^{2}}$=$\sqrt{7}$cm．
棱台的体积：V=$\frac{1}{3}×\sqrt{7}×（16+100+\sqrt{1600}）$=$\frac{156\sqrt{7}}{3}$=52$\sqrt{7}$（cm³）．
正四棱台的斜高：4cm；体积为：52$\sqrt{7}$cm³．

点评 本题考查正四棱台的性质，构造直角梯形和直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键．