Question

15．已知二次函数f（x）=ax²+（a-1）x+a．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[-1，1]上最大值；
（2）关于x的不等式$\frac{f（x）}{x}$≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）函数g（x）=f（x）+$\frac{1-（a-1{）x}^{2}}{x}$在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得二次函数的对称轴，及端点处的函数值，可得最大值；
（2）由题意可得h（x）=$\frac{f（x）}{x}$在x∈[1，2]时的最小值大于或等于2，得到a的不等式组，解得即可得到所求范围；
（3）由题意可得$g（x）=a{x^2}+\frac{1}{x}+a$在（2，3）上是增函数，运用单调性的定义，可得2＜x₁＜x₂＜3，所以$a＞\frac{1}{{{x_1}{x_2}（{x_1}+{x_2}）}}$，求出右边的范围，即可得到a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2x²+x+2，x∈[-1，1]，
对称轴为x=-$\frac{1}{4}$，f（-1）=3，f（1）=5，
∴f（x）_max=5；
（2）设$h（x）=\frac{f（x）}{x}=a（x+\frac{1}{x}）+a-1$，
当x∈[1，2]时，$x+\frac{1}{x}∈[2，\frac{5}{2}]$，
因为不等式$\frac{f（x）}{x}$≥2在x∈[1，2]上恒成立，
所以h（x）在x∈[1，2]时的最小值大于或等于2，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2a+a-1≥2}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{5}{2}a+a-1≥2}\end{array}}\right.}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≥\frac{6}{7}}\end{array}\right.$，
解得a≥1；
（3）$g（x）=a{x^2}+\frac{1}{x}+a$在（2，3）上是增函数，
设2＜x₁＜x₂＜3，则g（x₁）＜g（x₂），即$a{x_1}^2+\frac{1}{x_1}+a＜ax_2^2+\frac{1}{x_2}+a$，
$a（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）＜\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$，
因为2＜x₁＜x₂＜3，所以$a＞\frac{1}{{{x_1}{x_2}（{x_1}+{x_2}）}}$，
而$\frac{1}{{{x_1}{x_2}（{x_1}+{x_2}）}}∈（\frac{1}{54}，\frac{1}{16}）$，
所以$a≥\frac{1}{16}$．

点评 本题考查函数的最值的求法和不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离的方法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．