Question

18．已知函数f（x）=|x²-a|在区间[-1，1]上的最大值为M（a），则M（a）_min=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行，结合二次函数的单调性及a的正负及$\sqrt{a}$与1的大小分类讨论求解M（a）．

解答 解：由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行；
①当a≤0时，f（x）=x²-a，函数f（x）在[0，1]单调递增，M（a）=f（1）=1-a≥1．
②当 1＞a＞0时，函数f（x）在[0，$\sqrt{a}$]上单调递减，在[$\sqrt{a}$，1]上单调递增，
所以f（x）在[0，$\sqrt{a}$]内的最大值为M（a）=f（0）=a，
而f（x）在[$\sqrt{a}$，1]上的最大值为M（a）=f（1）=1-a．
由f（1）＞f（0）得1-a＞a，即0＜a＜$\frac{1}{2}$．
故当a∈（0，$\frac{1}{2}$）时，M（a）=f（1）=1-a＞$\frac{1}{2}$，
同理，当a∈[$\frac{1}{2}$，1）时，M（a）=f（0）=a≥$\frac{1}{2}$．
③当a≥1时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）=f（0）=a≥1．
综上，M（a）=1-a，（当a＜$\frac{1}{2}$时）； M（a）=a，（当a≥$\frac{1}{2}$时）．
所以M（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上为减函数，且在[$\frac{1}{2}$，1]为增函数，易得M（a）的最小值为M（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了偶函数的性质的应用，其实由分析可得M（a）=f（0）或f（1），所以可直接通过比较f（0）与f（1）的大小得出M（a）的解析式从而求解．