Question

椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上有两点P、Q，O为原点，若OP、OQ斜率之积为-

1

4

，则|OP|²+|OQ|² 为（　　）

A．4

B．20

C．64

D．不确定

Answer 1

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）都在椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上，
则OP、OQ斜率分别为：

y1

x1

，

y2

x2

．
由OP、OQ斜率之积为-

1

4

，得：

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

4

，
即x₁x₂=-4y₁y₂，平方得(x1x2) 2=16(y1y2) 2，
又

y

21

=4-

1

4

x

21

，

y

22

=4-

1

4

x

22

，代入上式得：

x

21

x

22

=16( 4-

1

4

x

21

)( 4-

1

4

x

22

)，
化简得：

x

21

+

x

22

=16．
∴|OP|2+|OQ|2=

x

21

+

y

21

+

x

22

+

y

22

=

x

21

+ 4-

1

4

x

21

+

x

22

+ 4-

1

4

x

22

=

3 4 (x

21

+

x

22

)+8=12+8=20．
故选B．