Question

5．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+ax+\frac{1}{2}，（x≤1）}\\{2{a}^{x}-1，（x＞1）}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）内单调递减，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意利用 函数的单调性与导数的关系可得 $\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≥\sqrt{\frac{a}{3}}}\\{-1+a+\frac{1}{2}≥2a-1}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+ax+\frac{1}{2}，（x≤1）}\\{2{a}^{x}-1，（x＞1）}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）内单调递减，
当$\frac{1}{2}$≤x≤1时，f′（x）=-3x²+a≤0，且-1+a+$\frac{1}{2}$≥2a-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≥\sqrt{\frac{a}{3}}}\\{-1+a+\frac{1}{2}≥2a-1}\end{array}\right.$，求得0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性与导数的关系，属于中档题．