Question

设f（x）是x的三次多项式，已知

lim

x→2a

=

f(x)

x-2a

=

lim

x→4a

f(x)

x-4a

=1．试求

lim

x→3a

f(x)

x-3a

的值（a为非零常数）．

Answer 1

分析：由题意可知f（x）必含有（x-2a）与（x-4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x-2a）（x-4a）（x-C）．由

lim

x→2a

A(x-2a)(x-4a)(x-C)

x-2a

=

lim

x→2a

A（x-4a）（x-C）=1，得4a²A-2aCA=-1．同理，得8a²A-2aCA=1．从而得到

lim

x→3a

f(x)

x-3a

的值．

解答：解：由于

lim

x→2a

f(x)

x-2a

=1，可知f（2a）=0．①
同理f（4a）=0．②
由①②，可知f（x）必含有（x-2a）与（x-4a）的因式，
由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x-2a）（x-4a）（x-C）．
这里A、C均为待定的常数．
由

lim

x→2a

f(x)

x-2a

=1，即

lim

x→2a

A(x-2a)(x-4a)(x-C)

x-2a

=

lim

x→2a

A（x-4a）（x-C）=1，
得A（2a-4a）（2a-C）=1，
即4a²A-2aCA=-1．③
同理，由于

lim

x→4a

f(x)

x-4a

=1，
得A（4a-2a）（4a-C）=1，
即8a²A-2aCA=1．④
由③④得C=3a，A=

1

2 a 2

，
因而f（x）=

1

2a2

（x-2a）（x-4a）（x-3a）．
∴

lim

x→3a

f(x)

x-3a

=

lim

x→3a

1

2a2

（x-2a）（x-4a）
=

1

2a2

•a•（-a）=-

1

2

．

点评：本题考查数列的极限和性质，解题时要认真审题，仔细解答．