Question

已知函数f（x）=

-x2+x，x≤1 log0.5x，x＞1

，若对于任意x∈R，不等式f（x）≤

t2

4

-t+1恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1]∪[2，+∞）
• B、（-∞，1]∪[3，+∞）
• C、[1，3]
• D、（-∞，2]∪[3，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：这是一个不等式恒成立问题，只需

t2

4

-t+1≥f(x)max即可，再求分段函数的最大值，解出关于t的不等式即为所求．

解答： 解：对于f（x），当x≤1时，y=--x2+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

在（-∞，

1

2

]递增，在（

1

2

，1]上递减，故此时y_max=f（

1

2

）=

1

4

；
当x＞1时，y=log_0.5x是减函数，此时y＜log_0.51=0，；综上原函数的最大值为

1

4

，
故不等式f（x）≤

t2

4

-t+1恒成立，只需

t2

4

-t+1≥

1

4

即可，解得t≤1或t≥3．
故选B．

点评：本题考查了不等式恒成立的问题、分段函数的最值的求法等问题，一般是把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解．