Question

已知f（x）=

x3-x-3

5

，g（x）=

x3+x-3

5

．
（1）求证：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性的定义证明，利用单调性的定义确定函数的单调区间．
（2）分别求出f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，然后根据规律得到结论．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，…（1分）
∵f（-x）=

(-x)3-(-x)-3

5

=-

x3-x-3

5

=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．…（4分）
设0＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1

5

(

x

3 1

-

x

-3 1

)-

1

5

(

x

3 2

-

x

-3 2

)=

1

5

(

x

3 1

-

x

3 2

)(1+

1

x 3 1 x 3 2

)，…（6分）
∵y=x^3r上是增函数，故

x

3 1

＜

x

3 2

，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
又∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函数．
∴函数f（x）的增区间是（-∞，0）和（0，+∞）．…（10分）
（2）f(4)-5f(2)g(2)=

43-4-3

5

-5×

23-2-3

5

?

23+2-3

5

=

43-4-3

5

-

43-4-3

5

=0，．…（12分）
同理f（9）-5f（3）g（3）=0．猜想：f（x²）-5f（x）g（x）=0 …（14分）
证明：∵f(x2)-5f(x)g(x)=

x6-x-6

5

-5×

x3-x-3

5

?

x3+x-3

5

=

x6-x-6

5

-

x6-x-6

5

=0．
∴等式成立．…（16分）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，综合性较强．