Question

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为

2

6

．

Answer 1

分析：根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO₁，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．

解答：解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，
延长CO₁交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
∴OO1=

12-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴高SD=2OO₁=

2 6

3

，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=

3

4

，
∴V_{三棱锥S-ABC}=

1

3

×

3

4

×

2 6

3

=

2

6

．
故答案为

2

6

．

点评：利用截面圆的性质求出OO₁是解题的关键．