Question

设△ABCABC的三边长分别为a，b，c，
（1）判定b+c-a，a+b-c，c+a-b的符号；
（2）求证：

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

≥a+b+c．

Answer 1

分析：（1）根据三角形任意两边任何大于第三边直接求解
（2）对

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

提出

1

a+b+c

并乘以（b+c-a）+（a+b-c）+（c+a-b）=a+b+c保证式子不变．然后把（b+c-a）+（a+b-c）+（c+a-b）乘进括号内进行化简，即可得到与a+b+c的关系．

解答：解：（1）因为a，b，c的三角形的三边，
所以根据三角形任意两边任何大于第三边，有：
b+c-a＞0
a+b-c＞0
c+a-b＞0
（2）

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

=

1

a+b+c

•（

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

）•[（b+c-a）+（a+b-c）+（c+a-b）]
≥

1

a+b+c

（

a2 b+c-a

•

b+c-a

+

b2 c+a-b

•

a+b-c

+

c2 a+b-c

• 

c+a-b

）²

=

1

a+b+c

•（a+b+c）²
=a+b+c
即：

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

≥a+b+c．

点评：本题考查不等式的证明，也考查对于等式和不等式的化简，需要熟练准确的进行计算，本题属于中档题．