Question

设△A_nB_nC_n的三边长分别为a_n，b_n，c_n，面积为f（n），已知a₁=4，b₁=5，c₁=3，an+1=an，bn+1=

an+cn

2

，cn+1=

an+bn

2

(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{b_n-c_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：无论n取何正整数，b_n+c_n恒为定值；
（Ⅲ）判断函数f（n）（n∈N*）的单调性，并加以说明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a_n+1=a_n及a₁=4可求得a_n=4，可求得bn+1-cn+1=-

1

2

(bn-cn)，可判断{b_n-c_n}是以-

1

2

为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求得b_n-c_n；
（Ⅱ）由b_n+1=

cn

2

+2，c_n+1=

bn

2

+2，得b_n+1+c_n+1=

bn+cn

2

+4，可变为b_n+1+c_n+1-8=

bn+cn

2

-4=

1

2

(bn+cn-8)，再由b₁+c₁-8=5+3-8=0，可得结论；
（Ⅲ）由b_n+c_n=8，b_n-c_n=2•(-

1

2

)n-1，得b_n=4+(-

1

2

)n-1，c_n=4-(-

1

2

)n-1，利用余弦定理可求得cosA，进而得sinA，由三角形面积公式可表示出三角形的面积公式，根据基本函数的单调性可作出判断；

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n，a₁=4，∴a_n=4，
∴b_n+1=

4+cn

2

=

cn

2

+2，cn+1=

bn+4

2

=

bn

2

+2，
∴bn+1-cn+1=

cn-bn

2

=-

1

2

(bn-cn)，又b₁-c₁=5-3=2，
∴{b_n-c_n}是以-

1

2

为公比的等比数列，
∴b_n-c_n=2•(-

1

2

)n-1；
（Ⅱ）∵b_n+1=

cn

2

+2，c_n+1=

bn

2

+2，
∴b_n+1+c_n+1=

bn+cn

2

+4，b_n+1+c_n+1-8=

bn+cn

2

-4=

1

2

(bn+cn-8)，
而b₁+c₁-8=5+3-8=0，∴b_n+c_n-8=0，
∴b_n+c_n=8；
（Ⅲ）由b_n+c_n=8，b_n-c_n=2•(-

1

2

)n-1，
得b_n=4+(-

1

2

)n-1，c_n=4-(-

1

2

)n-1，
令m=(-

1

2

)n-1，则a_n=4，b_n=4+m，c_n=4-m，则cosA=

m2+8

16-m2

，
∴sinA=

4 3 • 4-n2

16-m2

，
∴f（n）=S_△ABC=

1

2

×bn•cn•sinA=

1

2

×(16-m2)×

4 3 • 4-m2

16-m2

=2

3

4-m2

=2

3

4-( 1 4 )n-1

，
当n增大时，(

1

4

)n-1减小，

4-( 1 4 )n-1

增大，∴f（n） 递增．

点评：本题考查由递推式求数列通项、等比关系的确定及数列与函数的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性较强，有一定难度．