Question

设x₁、x₂∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”：x₁⊕x₂=（x₁+x₂）²，定义运算“?”：x₁?x₂=（x₁-x₂）²；对于两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义d(AB)=

y1?y2

．
（1）若x≥0，求动点P（x，

(x⊕a)-(x?a)

） 的轨迹C；
（2）已知直线l1 ： y=

1

2

x+1与（1）中轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，若

(x1?x2)+(y1?y2)

=8

15

，试求a的值；
（3）在（2）中条件下，若直线l₂不过原点且与y轴交于点S，与x轴交于点T，并且与（1）中轨迹C交于不同的两点P、Q，试求

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设y=

(x⊕a)-(x?a)

，根据新定义运算得出：y²=（x⊕a）-（x?a）=（x+a）²-（x-a）²=4ax，从而得出的轨迹方程即可；
（2）先将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用根据新定义运算即可求得a值，从而解决问题；
（3）根据新定义运算得到：d(AB)=

y1?y2

=|y1-y2|，从而

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

=

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

设直线l₂：x=my+c，分别过P、Q作PP₁⊥y轴，QQ₁⊥y轴，垂足分别为P₁、Q₁，有

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|PP1|

+

|OT|

|QQ1|

=

|c|

|xP|

+

|c|

|xQ|

．由

y2=8x x=my+c

先将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用基本不等式即可求得试求

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

的取值范围．

解答：解：（1）设y=

(x⊕a)-(x?a)

，
则y²=（x⊕a）-（x?a）=（x+a）²-（x-a）²=4ax，
又由y=

(x⊕a)-(x?a)

≥0，
可得P（x，

(x⊕a)-(x?a)

） 的轨迹方程为y²=4ax（y≥0），轨迹C为顶点在原点，焦点为（a，0）的抛物线在x轴上及第一象限的内的部分；
（2）由已知可得

y2=4ax y= 1 2 x+1

，整理得x²+（4-16a）x+4=0，
由△=（4-16a）²-16=16²a²-8×16a≥0，得a≥

1

2

或a≤0．
∵a＞0，∴a≥

1

2

．
∴

(x1?x2)+(y1?y2)

=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+( x1-x2 2 )2

=

5

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

2

(4-16a)2-16

=8

15

，
解得a=2或a=-

1

2

（舍）．
（3）∵d(AB)=

y1?y2

=|y1-y2|，
∴

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

=

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

设直线l₂：x=my+c，
依题意m≠0，c≠0，则T（c，0）
分别过P、Q作PP₁⊥y轴，QQ₁⊥y轴，垂足分别为P₁、Q₁，
则

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|PP1|

+

|OT|

|QQ1|

=

|c|

|xP|

+

|c|

|xQ|

．
由

y2=8x x=my+c

消去y得x²-（2c+8m²）x+c²=0．
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|c|(

1

|xP|

+

1

|xQ|

)≥2|c|

1 xPxQ

=2|c|

1 c2

=2．
∵x_P、x_Q取不相等的正数，∴取等的条件不成立，
∴

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

的取值范围是（2，+∞）．

点评：本题抽象函数、新定义函数类型的概念，不等式的性质，放缩法的技巧，对于新定义类型问题，在解答时要先充分理解定义才能答题，避免盲目下笔，遇到困难才来重头读题，费时费力，另外要在充分抓住定义的基础上，对式子的处理要灵活，各个式子的内在联系要充分挖掘出来，可现有结论向上追溯，看看需要哪些条件才能得出结果，再来寻求转化取得这些条件．属中档题．