Question

20．已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为8，
（1）求椭圆的方程； 
（2）求与上述椭圆共焦点，且一条渐近线为y=$\sqrt{3}$x的双曲线方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），根据椭圆的定义得2a=8，算出a=4．再由离心率的公式建立关于a、b的等式，化简为关于b的方程解出b²=12，即可得出椭圆G的方程．
（2）求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c²=a²+b²；双曲线的渐近线的方程与系数的关系列出方程组，求出a，b，写出双曲线方程．

解答 解：设椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为：8，
∴根据椭圆的定义得2a=8，可得a=4．
又∵椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，∴e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{\sqrt{16-{b}^{2}}}{4}$=$\frac{1}{2}$，解之得b²=12，
由此可得椭圆G的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）
由椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，求得两焦点为（-2，0），（2，0），
∴对于双曲线C：c=2．
又y=$\sqrt{3}$x为双曲线C的一条渐近线，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$                                             
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线C的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题给出椭圆G满足的条件，求椭圆G的标准方程．着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识，利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是：a²=b²+c²；双曲线中系数的关系是：c²=a²+b²．