Question

函数f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-3=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

1

2n

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：利用f（1）=2+log_a1=2，可得函数f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，2），
由于点A在直线mx+ny-3=0上，可得m+2n=3．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答：解：∵f（1）=2+log_a1=2，∴函数f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，2），
∵点A在直线mx+ny-3=0上，∴m+2n=3．
∵mn＞0，∴m，n＞0．
∴

1

m

+

1

2n

=

1

3

(m+2n)(

1

m

+

1

2n

)=

1

3

(2+

2n

m

+

m

2n

)≥

1

3

(2+2

2n m • m 2n

)=

4

3

，当且仅当m=2n=

3

2

时取等号．
∴

1

m

+

1

2n

的最小值是：

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查了对数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．