Question

关于x的三次函数y=f（x）的两个极值点为P、Q，其中P为原点，Q在曲线y=1+

2x-x2

上，则曲线y=f（x）的切线斜率的最大值的最小值为

3

4

．

Answer 1

分析：可以设f（x）=ax³+bx²+cx+d，根据已知条件减少未知量，对其进行求导转化为求f′（x）最大值的表达式，可以利用三角代换，求出a，b关于θ的表达式，再进行代入求得其最小值；

解答：解：设f（x）=ax³+bx²+cx+d，依题意可得，f（0）=0且f′（0）=0，
∴c=d=0，故f（x）=ax³+bx²，
∴f′（x）=3ax²+2bx，由y=1+

2x-x2

及点Q在上面，
可设Q（1+cosθ，1+sinθ），θ∈[0，π]，由Q为一个极值点，
得

1+sinθ=a(1+cosθ)3+b(1+cosθ)2 0=3a(1+cosθ)2+2b(1+cosθ)

，
显然cosθ≠1，θ≠π，
∴1+cosθ=-

2b

3a

，
∴

a= -2(1+sinθ) (1+cosθ)3 b= 3(1+sinθ) (1+cosθ)2

，∵a＜0，
∴f′（x）=3ax²+2bx存在最大值：f′（

b

3a

）=f（-

1+cosθ

2

）=

3

2

×

1+sinθ

1+cosθ

利用数形结合可求得：

3

2

×

1+sinθ

1+cosθ

=

3

2

×K_OQ，
求出直线OQ斜率的最小值即可：可知Q点在（2，1）处斜率最小：K_OQ=

1

2

，
∴

3

2

×K_OQ=

3

4

，
曲线y=f（x）的切线斜率的最大值的最小值为

3

4

，
故答案为：

3

4

；

点评：此题考查了利用导数研究函数的最值问题，比较难想到的是利用三角代换求出函数f′（x）的最大值表达式，此题计算量比较大，考查了学生的计算能力；