Question

已知关于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于x的二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称．
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数y₂=2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y₃=ax²+bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立．求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：
①m=0，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；
②m≠0，此时方程为二元一次方程，可表示出方程的根的判别式，然后结合非负数的性质进行证明．
（2）①由于抛物线的图象关于y轴对称，那么抛物线的一次项系数必为0，可据此求出m的值，从而确定函数的解析式；
②此题可用作差法求解，令y₁-y₂，然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明．
（3）根据②的结论，易知y₁、y₂的交点为（1，0），由于y₁≥y₃≥y₂成立，即三个函数都交于（1，0），结合点（-5，0）的坐标，可用a表示出y₃的函数解析式；已知y₃≥y₂，可用作差法求解，令y=y₃-y₂，可得到y的表达式，由于y₃≥y₂，所以y≥0，可据此求出a的值，即可得到抛物线的解析式．

解答：解：（1）分两种情况：
当m=0时，原方程化为3x-3=0，解得x=1，
∴当m=0，原方程有实数根．（1分）
当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∵△=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0．
∴原方程有两个实数根．
综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根．（3分）
（2）①∵关于x的二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，
∴3（m-1）=0．∴m=1．∴抛物线的解析式为y₁=x²-1…（5分）
②∵y₁-y₂=x²-1-（2x-2）=（x-1）²≥0，
∴y₁≥y₂（当且仅当x=1时，等号成立）．…（6分）

（3）由②知，当x=1时，y₁=y₂=0．∴y₁、y₂的图象都经过（1，0）．
∵对于x的同一个值，y₁≥y₃≥y₂，
∴y₃=ax²+bx+c的图象必经过（1，0）．（7分）
又∵y₃=ax²+bx+c经过（-5，0），∴y₃=a（x-1）（x+5）=ax²+4ax-5a．
设y=y₃-y₂=ax²+4ax-5a-（2x-2）=ax²+（4a-2）x+（2-5a）．
∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立，

∴y₃-y₂≥0，
∴y=ax²+（4a-2）x+（2-5a）≥0．

又根据y₁、y₂的图象可得 a＞0，
∴y最小=

4a(2-5a)-(4a-2)2

4a

≥0．
∴（4a-2）²-4a（2-5a）≤0．∴（3a-1）²≤0．
而（3a-1）²≥0．只有3a-1=0，解得a=

1

3

．
∴抛物线的解析式为y3=

1

3

x2+

4

3

x-

5

3

…（10分）

点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，难度较大．