Question

在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 　　∴设|PN|＝3k，|PM|＝4k， 　　则|MN|＝5k． 　　由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4． 　　∴|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20． 　　以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系． 　　设所求双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)． 　　由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4． 　　由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10． 　　则b2＝c2－a2＝96，所求双曲线方程为＝1． 　　解析：首先应建立适当的坐标系．由于M、N为焦点，所以建立如图所示直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知||PM|－|PN||＝2a，|MN|＝2c，所以利用条件确定△MPN的边长是关键．

提示：

选取的坐标系不同，则双曲线的方程不同，但双曲线的形状不会发生变化，解题中应注意合理选取坐标系，这样能使所求曲线的方程更简捷．