Question

16．某超市销售某种小商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式y=$\frac{160x+a}{x-1}+10{x^2}$-80x，其中1＜x＜4，a为常数，已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件．若该商品的进价为1元/件，当销售价格x为何值时，超市每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer 1

分析 由销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件，建立方程，求出a，可得f（x）的解析式；商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

解答 解：由题意，销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件，
∴11=$\frac{480+a}{3-1}$+10×9-80×3，解得a=-158，故y=$\frac{160x-158}{x-1}$+10x²-80x（1＜x＜4）；
商场每日销售该商品所获得的利润为g（x）=（x-1）f（x）=（160x-158）+（x-1）（10x²-80x）（1＜x＜4），
g′（x）=30（x-4）（x-2）．
列表得x，y，y′的变化情况：

x	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	-
g（x）	单调递增	极大值42	单调递减

由上表可得，x=2是函数f（x）在区间（1，4）内的极大值点，也是最大值点，此时g（x）=42元．

点评 本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．