Question

把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为y=2sin（2x+）；  
②该函数图象关于点（）对称；
③该函数在[]上是增函数；
④函数y=f（x）+a在[]上的最小值为，则．
其中，正确判断的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得f（x）=2sin（2x+），由此可得①不正确．求出函数的对称中心为（ -，0），可得②正确．
求出函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z，可得③不正确．由于当x∈[0，]时，求得f（x）+a的最小值为-+a=，可得a的值，可得④正确．
解答：解：把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数y=f（x）=2sin2（x+）=2sin（2x+）的图象，
由于f（x）=2sin（2x+），故①不正确．
令2x+=kπ，k∈z，求得 x=-，k∈z，故函数的图象关于点（ -，0）对称，故函数的图象关于点（，0）对称，故②正确．
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z，
故函数在[]上不是增函数，故 ③不正确．
当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为-，函数y=f（x）+a取得最小值为-+a=，
故a=-2，故④正确．
故答案为 ②④．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，复合三角函数的单调性、对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．