Question

 某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示。

（1）求第3、4、5组的频率；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率。

 

Answer 1

【答案】

（1）0.1；（2）第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人；（3）.

【解析】第一问由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1。

第二问第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10。

因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为第3组：，第4组：，第5组：，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人

第三问设第3组的3名学生分别为A₁、A₂、A₃­，第4组的2名学生分别为B₁、B₂，第5组的1名学生为C₁，则从6名学生中抽取两位学生有：（A₁，A₂）、（A₁，A₃）、（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、（A₁，C₁）、（A₂，A₃）、（A₂，B₁）、（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共15种可能。其中第4组的2位学生B₁，B₂至少有一位学生入选的有：（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、(A₂，B₁）、（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为

解：（1）由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1。………………………………3分

（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10。

因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为第3组：，第4组：，第5组：，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。…………………6分

（3）设第3组的3名学生分别为A₁、A₂、A₃­，第4组的2名学生分别为B₁、B₂，第5组的1名学生为C₁，则从6名学生中抽取两位学生有：（A₁，A₂）、（A₁，A₃）、（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、（A₁，C₁）、（A₂，A₃）、（A₂，B₁）、（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共15种可能。其中第4组的2位学生B₁，B₂至少有一位学生入选的有：（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、(A₂，B₁）、（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为。………………………………12分