Question

某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	35	0.350
第3组	[170，175）	30	0.300
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185]	10	0.100
合计		100	1.00

（Ⅰ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（Ⅱ）在（I）的前提下，学校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

Answer 1

分析：（I）根据三个组的总人数和要抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用概率分别乘以三个组的人数，得到每一个组要抽取的人数，得到结果．
（II）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C₆²种满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有C₂¹C₄¹+1种结果，根据古典概型概率公式得到结果．

解答：解：（I）∵第3、4、5组共有60名学生，
∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：

30

60

×6=3人，
第4组：

20

60

×6=2人，
第5组：

10

60

×6=1人，
∴第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
（II）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C₆²=15种
满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有C₂¹C₄¹+1=9种结果，
∴至少有一位同学入选的概率为

9

15

=

3

5

点评：本题考查古典概型及其概率公式．考查分层抽样方法，本题好似一个概率与统计的综合题目，题目的运算量适中，是一个比较好的题目．