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【题目】已知函数.

1)求证:存在唯一的实数,使得直线与曲线相切;

2)若,求证:.

(注:为自然对数的底数.

【答案】1)见解析;(2)见解析

【解析】

1)曲线处的切线为,所以只需证明有唯一解即可.
(2) 要证,即证,,即,只要证明,然后构造函数,讨论单调性,分析函数的最值,即可证明.

证明:(1)由知,在处的切线为

当该直线为时,可得

所以,所以

,则当时,

所以单调递增,

,所以存在唯一的实数),

使得,相应的也是唯一的,

即存在唯一-的实数,使得直线与曲线相切.

2)要证,即证

,对于确定的是一次函数,只要证明,

注意到对于同一,所以只要证明

先证明①:记,则

,因为,所以

由此可知在区间递减,在区间递增.

又因为

所以,在区间上存在唯一实数,使得.

故在区间递减,在区间递增.

于是.①得证.

再证明②:记

时,利用不等式得,

时,利用不等式)得

于是

其中二次函数开口向上,对称轴为

时,最小值为

所以.

综上,不等式①②均成立.

所以,当,对任意的,总有.

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频数

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