精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
己知f′(x)为函数f(x)=x+
1
x
的导函数,则下列结论中正确的是(  )
A、?x0∈R,?x∈R且x≠0,f(x)≤f(x0
B、?x0∈R,?x∈R且x≠0,f(x)≥f(x0
C、?x0∈R,?x∈(x0,+∞),f′(x)<0
D、?x0∈R,?x∈(x0,+∞),f′(x)>0
分析:根据基本不等式求出函数的最值即可判断A,B,利用导数研究函数的单调性即可判断C,D.
解答:解:∵f(x)=x+
1
x

∴x≠0,f'(x)=1-
1
x2
=
x2-1
x2

当x>0时,f(x)=x+
1
x
≥2,
当x<0时,f(x)=x+
1
x
≤-2,
∴在定义域上函数f(x)没有最值,∴A,B错误.
由f'(x)=1-
1
x2
=
x2-1
x2
<0,解得-1<x<0或0<x<1,
∴不存在x0∈R,?x∈(x0,+∞),使f′(x)<0成立,∴C错误.
由f'(x)=1-
1
x2
=
x2-1
x2
>0,解得x<-1或x>1,
∴存在x0>1,?x∈(1,+∞),使f′(x)>0成立,∴D正确.
故选:D.
点评:本题主要考查函数f(x)=x+
1
x
的最值以及单调性的性质的应用,利用导数和基本不等式是解决本题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

己知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞),点(f(x)-lnx,1)总在函数y=f(x)的图象上,则方程f(x)+2x-7=0的解所在的区间为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

己知f(x)为定义域为 R 内的减函数,且f(x)=
logax
(2a-1)x+4a
(x≥1)
(x<1)
,则实数a的取值范围为
[
1
6
1
2
[
1
6
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

己知f(x)为定义域为 R 内的减函数,且数学公式,则实数a的取值范围为________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省南通市海安县实验中学高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版) 题型:填空题

己知f(x)为定义域为 R 内的减函数,且,则实数a的取值范围为   

查看答案和解析>>

同步练习册答案