Question

（理科）某中学号召学生在2010年春节期间至少参加一次社会公益活动（下面简称为“活动”）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（Ⅰ）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（Ⅱ）从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（文科）先后抛掷一枚骰子两次，得到点数m，n，确定函数f（x）=x²+mx+n²，设函数f（x）有零点为事件A．
（Ⅰ）求事件A的概率P（A）；
（Ⅱ）设函数g（x）=x²+12P（A）x-4的定义域为[-5，5]，记“当x₀∈[-5，5]时，则g（x₀）≥0”为事件B，求事件B的概率P（B）．

Answer 1

分析：（理科）先由统计图得出参加活动1次、2次、3次的学生数（Ⅰ）由参加活动1次、2次、3次的学生数可以算得参加活动的人均次数，（Ⅱ）参加活动次数恰好相等分为都是1次、都是2次、都是3次，三种情况，每一种都要考虑到．
（文科）（Ⅰ）先由先后抛掷一枚骰子两次，得到点数m，n，知基本事件空间中基本事件总数，又有事件A所包含的基本事件应满足条件可知事件A的个数，（Ⅱ）事件A的概率P（A）已知，可以求得g（x₀）≥0成立的x₀的范围

解答：（理科）解：由题图知，参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10、50、40．
（Ⅰ）该合唱团学生参加活动的人均次数

1×10+2×50+3×40

100

=2.3．（4分）
（Ⅱ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概p₀=

C 2 10 + C 2 50 + C 2 40

C 2 100

=

41

99

．（8分）
（文科）解：（Ⅰ）由题意知基本事件空间中基本事件总数为36，事件A所包含的基本事件应满足条件：m²-4n²≥0，即m≥2n，它们分别是：m=2，n=1；m=3，n=1；m=4，n=1，2；m=5，n=1，2；m=6，n=1，2，3，
共包含9个基本事件，
所以P(A)=

9

36

=

1

4

（6分）
（Ⅱ）当x₀∈[-5，5]时，g（x₀）≥0，即x₀²+3x₀-4≥0，其解集为[-5，-4]∪[1，5]
这是一个几何概型，基本事件空间的大小是区间[-5，5]的长度为10，事件B包含的基本事件的大小是区间[-5，-4]和[1，5]的长度之和为5
所以，P(A)=

5

10

=

1

2

（12分）

点评：几何概型与古典概型是最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的．基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的．