Question

定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h（x）=x-a

x

，且g（x）在x=1处取得极值．
（1）求a的值及h（x）的单调区间；
（2）求证：当1＜x＜e²时，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

；
（3）把h（x）对应的曲线C₁向上平移6个单位后得到曲线C₂，求C₂与g（x）对应曲线C₃的交点的个数，并说明道理．

Answer 1

分析：（1）表示出函数g（x）后对其进行求导，将x=1代入导数g'（x）即可得到答案．
（2）欲证：x＜

2+f(x)

2-f(x)

．只需证：x[2-f（x）]＜2+f（x），即证：f（x）＞

2(x-1)

x+1

．
（3）表示出C₂的解析式，h₁（x），转化为求h₁（x）与g（x）的交点个数即可．

解答：解：（1）由题意：g（x）=x²-af（x）=x²-alnx
g'（1）=2-a=0，∴a=2
而h（x）=x-2

x

，h'（x）=1-

1

x

，
令h'（x）=1-

1

x

＞0  得  x＞1，所以 h（x）在（1，+∞）上位增函数
令h'（x）=1-

1

x

＜0  得  0＜x＜1，h（x）在（0，1）上为减函数．
（2）∵1＜x＜e²∴0＜lnx＜2，∴2-lnx＞0，
欲证：x＜

2+f(x)

2-f(x)

．只需证：x[2-f（x）]＜2+f（x），即证：f（x）＞

2(x-1)

x+1

记k（x）=f（x）-

2(x-1)

x+1

=lnx-

2(x-1)

x+1

∴k'（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

∴当x＞1时，k'（x）＞0∴k（x）在[1，+∞）上为增函数
∴k（x）＞k（1）=0，∴k（x）＞0
即lnx-

2(x-1)

x+1

＞0，∴lnx＞

2(x-1)

x+1

∴结论成立

（3）由（1）知：g（x）=x²-2lnx，h（x）=x-2

x

∴C₂对应表达式为h1(x)=x-2

x

+6
∴问题转化为求函数g（x）=x²-2lnx与h1(x)=x-2

x

+6交点的个数
即方程：x2-2lnx=x-2

x

+6的根的个数
即：2

x

-2lnx=-x2+x+6
设h2 (x)=2

x

-2lnx，h₃（x）=-x²+x+6，

h

′ 2

(x)=

1

x

-

2

x

=

x ( x -2)

x x

=

x -2

x

∴当x∈（0，4）时，h₂′（x）＜0，h₂（x）为减函数
当x∈（4，+∞）时，h₂′（x）＞0，h₂（x）为增函数
而h₃（x）=-x²+x+6的图象开口向下的抛物线
∴h₃（x）与h₂（x）的大致图象如图：
∴h₃（x）与h₂（x）的交点个数为2个，即C₂与C₃的交点个数为2个．

点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减区间的问题．这里要熟记各种函数的求导法则．