Question

15．已知⊙C的圆心坐标是（-1，3），且圆C与直线x+y-3=0相交于P、Q两点，又OP⊥OQ，O是坐标原点，求圆C的方程．

Answer 1

分析 设出圆的一般方程，求出圆的圆心坐标，即可求出D、E．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则P，Q两点坐标适合圆的方程，由韦达定理求出y₁+y₂，y₁y₂，利用OP⊥OQ，求出F，即可得到圆的方程．

解答 解：设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵⊙C的圆心坐标是（-1，3），
∴D=2，E=-6，
∴圆方程为x²+y²+2x-6y+F=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
x+y-3=0与x²+y²+2x-6y+F=0联立，
消去x得，2y²-14y+15+F=0，
由韦达定理得：y₁+y₂=7，y₁y₂=$\frac{15+F}{2}$
∴x₁x₂=（-y₁+3）（-y₂+3）=y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=$\frac{F-9}{2}$
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{15+F}{2}$+$\frac{F-9}{2}$=0，
∴F=3
故所求圆的方程为x²+y²+2x-6y+3=0．

点评 本题考查圆的方程的求法，圆的方程的综合应用，考查计算能力．