Question

13．已知关于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+2m=0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈（0，2π）．
（1）求$\frac{{si{n^2}θ}}{{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值；
（2）求m的值；
（3）求方程的两根及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用韦达定理、三角恒等变换化简要求的式子，可得结果．
（2）将韦达定理得到的结果进行变性，即可求得m的值．
（3）当m=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，求得此时方程的两个实数根，从而求得sinθ、cosθ的值，进而得到θ的值．

解答 解：（1）由韦达定理可知$\left\{\begin{array}{l}sinθ+cosθ=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}①\\ sinθ•cosθ=\frac{m}{2}②\end{array}\right.$，
而要求的式子为$\frac{{si{n^2}θ}}{sinθ-cosθ}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{{si{n^2}θ}}{sinθ-cosθ}+\frac{{co{s^2}θ}}{cosθ-sinθ}$=sinθ+cosθ=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．
（2）由①两边平方得1+2sinθcosθ=$\frac{{\sqrt{3}+2}}{2}$，将②代入得m=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
（3）当m=$\frac{\sqrt{3}}{4}$时，原方程变为2x²-（1+$\sqrt{3}$）x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=0，解得x₁=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x₂=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}sinθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ cosθ=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}sinθ=\frac{1}{2}\\ cosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，∵θ∈（0，2π），∴θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查韦达定理、三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于基础题．