Question

已知△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t），求函数f（t）的表达式．

Answer 1

分析：由于△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的形状在t取不同值时，形状不同，故可以分当0＜t≤1时（此时满足条件的图形为三角形）和当1＜t≤2时（此时满足条件的图形为四边形）及t＞2时（此时满足条件的图形为三角形OAB）三种情况进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到函数f（t）的表达式．

解答：解：由图，
当0＜t≤1时，
此时满足条件图形为以t为底，以

3

t为高的三角形
∴f(t)=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t2（3分）
当t＞2时，
此时满足条件图形为△OAB
∴f(t)=

3

（3分）
当1＜t≤2时，
此时满足条件图形为△OAB减一个以（2-t）为底，以

3

（2-t）为高的三角形所得的四边形
∴f(t)=

3

-

1

2

×(2-t)×

3

(2-t)=

3

-

3

2

(2-t)2=-

3

2

t2+2

3

t-

3

（3分）
综上可得f(t)=

3 2 t2，(0＜t≤1) - 3 2 t2+2 3 t- 3 ，(1＜t≤2) 3 ，(t＞2)

（1分）

点评：本题考查的知识点是分段函数的求法，其中根据已知中的图形，合理的设置分类标准是解答本题的关键．