Question

已知函数f（x）=．
（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3^x的x的取值范围；
（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．

Answer 1

解：（1）由题意，≥3^x，化简得3•（3^x）²+2×3^x-1≤0…（2分）
解得-1≤3^x≤…（4分）
所以x≤-1…（（6分），如果是其它答案得5分）
（2）已知定义域为R，所以f（0）==0?a=1，…（7分）
又f（1）+f（-1）=0?b=3，…（8分）
所以f（x）=；…（9分）
f（x）==（）=（-1+）
对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
可知f（x₁）-f（x₂）=（-）=-（）…（12分）
因为x₁＜x₂，所以-＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在R上递减．…（14分）
分析：（1）由题意可得≥3^x从中解得-1≤3^x≤，解此指数不等式即可求得x的取值范围；
（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（-1）=0可求得b，从而可得y=f（x）的解析式；利用单调性的定义，对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，再作差f（x₁）-f（x₂），最后判断符号即可．
点评：本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．