Question

设函数f（x）=（2x²+bx+c）•e^x在x=与x=-1时有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[-1，2]和的最大值与最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（2x²+bx+c）e^x
∴f′（x）=（4x+b）e^x+（2x²+bx+c）e^x=e^x[2x²+（b+4）x+b+c
∵f（x）在x=与x=-1时有极值
∴f′（）=0且f′（-1）=0
得，解之得
∴f（x）=（2x²-5x+2）e^x
（2）由（1）得f′（x）=e^x（2x²-x-3）=e^x（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，得x＞或x＜-1；令f′（x）＜0，得-1＜x＜
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（，+∞）；单调减区间为（-1，）
（3）根据（2）的单调性，在区间[-1，2]上列出下表：

由表格可得f（x）在[-1，2]和的最大值为f（-1）=，最小值为f（）=-．
分析：（1）求出函数f（x）的导数，根据函数的两个极值点为x=与x=-1，得到f′（）=0且f′（-1）=0．联解方程组，可得实数b、c的值，从而得到函数求f（x）的解析式；
（2）根据（1）的b、c的值，得到导数为f′（x）=e^x（2x-3）（x+1），分别解出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可得到函数的增区间和减区间；
（3）利用（2）中的单调性，将区间[-1，2]分成两个区间：（-1，）和（，2），分别求出f（-1）、f（）和f（2）的值再进行大小比较，即可得出f（x）在[-1，2]和的最大值与最小值．
点评：本题考查了利用导数研究函数的极值和利用导数求闭区间上函数的最值等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中，导数的正负与原函数单调性之间的关系和数形结合的方法加以理解．