Question

19．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+b}$，且f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若P（x₀，y₀）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由求导公式和法则求出f′（x），根据题意和导数的几何意义列出方程组，求出a、b的值即可求出f（x）；
（2）由（1）求出f′（x），由导数的几何意义得直线l的斜率k=f′（x₀），利用分离常数法化简，利用换元法和二次函数的性质求出k的最小值和最大值，可得k的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=$\frac{（ax）′（{x}^{2}+b）-ax（{x}^{2}+b）′}{{（x}^{2}+b）^{2}}$
=$\frac{a（{x}^{2}+b）-2a{x}^{2}}{{{（x}^{2}+b）}^{2}}$=$\frac{-a{x}^{2}+ab}{{{（x}^{2}+b）}^{2}}$，
因为f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=\frac{-a+ab}{{（1+b）}^{2}}=0}\\{f（1）=\frac{a}{1+b}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=1}\end{array}\right.$，
则$f（x）=\frac{4x}{{x}^{2}+1}$；
（2）由（1）可得，f′（x）=$\frac{-4{x}^{2}+4}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
所以直线l的斜率k=f′（x₀）=$\frac{-4{{x}_{0}}^{2}+4}{{{（{x}_{0}}^{2}+1）}^{2}}$=$\frac{-4（{{x}_{0}}^{2}+1）+8}{{{（{x}_{0}}^{2}+1）}^{2}}$
=-4•$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+1}$+$\frac{8}{{{（{x}_{0}}^{2}+1）}^{2}}$，
设t=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+1}$，则t∈（0，1]，
所以k=4（2t²-t）=8（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{2}$，
则在对称轴t=$\frac{1}{4}$处取到最小值$-\frac{1}{2}$，在t=1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是[$-\frac{1}{2}$，4]．

点评 本题考查导数的几何意义，求导公式和法则，以及二次函数的性质，考查分离常数法、换元法的应用，属于中档题．