Question

给出下列命题：
①已知

a

⊥

b

，则

a

•(

b

+

c

)+

c•

(

b

-

a

)=

b

•

c

；
②A、B、M、N为空间四点，若

BA

，

BM

，

BN

不构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面；
③已知

a

⊥

b

，则

a

，

b

与任何向量不构成空间的一个基底；
④已知{

a

，

b

，

c

}是空间的一个基底，则基向量

a

，

b

可以与向量

m

=

a

+

c

构成空间另一个基底．
正确命题个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：对于①，由条件可得

a

•

b

=0，把等式的左边展开化简可得它和灯饰的右边相等，故①正确．
对于②，由条件可得

BA

，

BM

，

BN

这3个向量共面，故A、B、M、N共面，故②正确．
对于③，若

c

 与

a

，

b

这3个向量不共面，则 {

a

，

b

 ，  

c

} 构成空间的一个基底，故③不正确．
对于④，由条件可得

m

=

a

+

c

与

a

，

b

 这3个向量不共面，能构成空间的另一个基底，故④正确．

解答：解：①若

a

⊥

b

，则

a

•

b

=0，故

a

•(

b

+

c

)+

c•

(

b

-

a

)=

a

•

b

+

a

•

c

+

c

•

b

-

c

•

a

=0+

c

•

b

=

b

•

c

，
故①正确．
②若

BA

，

BM

，

BN

不构成空间的一个基底，则

BA

，

BM

，

BN

这3个向量共面，故A、B、M、N共面，
故②正确．
③当

a

⊥

b

时，若

c

 与

a

，

b

这3个向量不共面，则 {

a

，

b

 ，  

c

} 构成空间的一个基底，故③不正确．
④若{

a

，

b

，

c

}是空间的一个基底，设

m

=

a

+

c

，则

m

 与

a

，

b

 这3个向量不共面，
故{

a

，

b

， 

m

} 构成空间的另一个基底，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确．
故选：C．

点评：本题主要考查空间向量基本定理及其意义，三个向量能构成空间的基底的条件是，这三个向量不共面．