Question

过抛物线C：y²=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线l被抛物线C截得的弦以M（1，1）为中点，求直线l的方程．
（2）若|AF|=3，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）分别设出A，B的坐标，利用点差法求出AB所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程；
（2）由焦半径公式求出A点坐标，利用两点式求出直线AF的方程，和抛物线联立求出B点的坐标，然后代入面积公式求解△AOB的面积．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵M（1，1）为AB中点，∴x₁+x₂=2
又∵A，B在抛物线y²=4x上，
∴y12=4x1，y22=4x2．
两式相减得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂）．
∴

y1-y2

x1-x2

=

4

x1+x2

=

4

2

=2．
∴k_AB=2，则直线l的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）由|AF|=3，得x₁+1=3，∴x₁=2，
不妨设A在第一象限，则y1=2

2

．
∴AF所在直线方程为

y-0

2 2 -0

=

x-1

2-1

，整理得：y=2

2

x-2

2

．
代入y²=4x得：x2=

1

2

，y2=-

2

．
∴S△AOB=

1

2

×1×|y2-y1|=

1

2

×|-

2

-2

2

|=

3 2

2

．

点评：本题考查了直线的一般式方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“点差法”求直线的斜率，涉及中点弦问题，利用点差法能起到事半功倍的效果，（2）中求三角形的面积采用了数学转化思想方法，把△AOB的面积转化为两个小三角形面积的和，此题是中高档题．