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    精英家教网设直线过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，且交C于点M，N，设
    MF
    =λ
    FN
    (λ＞0)    ．
    （I）若p=2，λ=4，求MN所在的直线方程；
    （II）若p=2，4≤λ≤9，求直线MN在y轴上截距的取值范围；
    （III）抛物线C的准线l与x轴交于点E，求证：
    EF
    与
    EM
    -λ
    EN
    的夹角为定值．
    分析：（I）p=2时，抛物线y2=4x，F（1，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），
    MF
    =λ
    FN
    (λ＞0)得(1-x1，y1)=λ(x2-1，-y2)，即
    1-x1=λ(x2-1)  ①
    y1=-λy2②
    ，由此能求出MN所在的直线方程．
    （II）由p=2得直线MN方程为(λ-1)y=2
    		λ
    (x-1)或(λ-1)y    =-2
    		λ
    (x-1)    ，由此能求出直线MN在y轴上截距的取值范围．
    （III）设M，N在直线l上的射影为M’，N’，则有
    EM
    =
    EM‘
    +
    M’M
    ，
    EN
    =
    EN‘
    +
    N’N
    ，由
    MM‘
    =λ
    NN’
    ，知
    EM
    -λ
    EN
    =
    EM’
    -λ
    EN‘
    ，由此能求出
    EF
    与
    EM
    -λ
    EN
    的夹角为定值90°．
    解答：解：（I）p=2时，抛物线y2=4x，F（1，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），
    MF
    =λ
    FN
    (λ＞0)得(1-x1，y1)=λ(x2-1，-y2)，即
    1-x1=λ(x2-1)  ①
    y1=-λy2②

    由②得y12=λ2y22，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x1=λ2x2．③
    联立①、③解得x2=
    1
    λ
    ，x1=λ，依题意有λ＞0    ．
    ∴M(λ，2
    		λ
    )，或M(λ，-2
    		λ
    )，而F(1，0)，当λ=4时，
    得直线MN的方程为4x-3y-4=0或4x+3y-4=0；(5分)

    （II）由（I）及p=2得直线MN方程为(λ-1)y=2
    		λ
    (x-1)或(λ-1)y    =-2
    		λ
    (x-1)    ，
    当λ∈[4，9]时，MN在y轴上的截距为
    2
    		λ
    λ-1
    或-
    2
    		λ
    λ-1
    ，
    令f(x)=
    2
    		x
    x-1
    ，则f′(x)=
    -x-1
    		x
    (x-1)2
    ＜0
    可知
    2
    		λ
    λ-1
    在[4，9]上是递减的，
    ∴
    3
    4
    ≤
    2
    		λ
    λ-1
    ≤
    4
    3
    ，-
    4
    3
    ≤-
    2
    		λ
    λ-1
    ≤-
    3
    4
    ，
    直线MN在y轴上截距的变化范围为[-
    4
    3
    ，-
    3
    4
    ]∪[
    3
    4
    ，
    4
    3
    ]．(5分)

    （III）设M，N在直线l上的射影为M’，N’，则有
    EM
    =
    EM‘
    +
    M’M
    ，
    EN
    =
    EN‘
    +
    N’N
    ，
    由于
    MM‘
    =λ
    NN’
    ，∴
    EM
    -λ
    EN
    =
    EM’
    -λ
    EN‘
    ，
    ∵
    EF
    ⊥(
    EM‘
    -λ
    EN’
    )    ，∴
    EF
    ⊥(
    EM
    -λ
    EN
    )    ，
    ∴
    EF
    与
    EM
    -λ
    EN
    的夹角为定值90°．
    点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：y=x2+4x+
    7
    2
    ，过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线．
    （1）若抛物线C在点M的法线的斜率为-
    1
    2
    ，求点M的坐标（x0，y0）；
    （2）设P（-2，4）为C对称轴上的一点，在C上一定存在点，使得C在该点的法线通过点P．试求出这些点，以及C在这些点的法线方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1、k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1），
    （1）设直线AB上一点M，满足
    BM
    =λ
    MA
    ，证明线段PM的中点在y轴上；
    （2）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设抛物线C：y=x2，F为焦点，l为准线，准线与y轴交点为H
    （1）求|FH|；
    （2）过点H的直线与抛物线C交于A，B两点，直线AF与抛物线交于点D．
    ①设A，B，D三点的横坐标分别为x1，x2，x3，计算：x1•x2及x1•x3的值；
    ②若直线BF与抛物线交于点E，求证：D，E，H三点共线．

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    科目：高中数学 来源：2009年浙江省杭州市高考数学二模试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    设直线过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，且交C于点M，N，设．
    （I）若p=2，λ=4，求MN所在的直线方程；
    （II）若p=2，4≤λ≤9，求直线MN在y轴上截距的取值范围；
    （III）抛物线C的准线l与x轴交于点E，求证：的夹角为定值．

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