Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率为k₁、k₂的两条直线分别交抛物线C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点（P、A、B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）设直线AB上一点M，满足

BM

=λ

MA

，证明线段PM的中点在y轴上；
（2）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设直线PA、PB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，确定P，M的坐标，即可证明线段PM的中点在y轴上；
（2）∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0，由此即可求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围．

解答：（1）证明：设直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），直线PB的方程为y-y₀=k₁（x-x₀）．
点P（x₀，y₀）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组

y-y0=k1(x-x0)…① y=ax2…②

的解．
将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x1+x0=

k1

a

，故x1=

k1

a

-x0③（3分）
又过点P（x₀，y₀）和点B（x₂，y₂）的直线的斜率为k₂，同理可得x2=

k2

a

-x0．
由已知得，k₂=-λk₁，则x2=-

λ

a

k1-x0．　　④（4分）
设点M的坐标为（x_M，y_M），由

BM

=λ

MA

，则xM=

x2+λx1

1+λ

．
将③式和④式代入上式得xM=

-x0-λx0

1+λ

=-x0，即x_M+x₀=0．
∴线段PM的中点在y轴上．    （6分）
（2）解：因为点P（1，-1）在抛物线y=ax²上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x²．
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x²得y1=-(k1+1)2．
将λ=1代入④式得x₂=k₁-1，代入y=-x²得y2=-(k2-1)2．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1-1，-k12-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)．  （8分）
于是

AP

=(k1+2，k12+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)，

AP

•

AB

=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)．
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0．
即2k₁（k₁+2）（2k₁+1）＜0    （10分）
解得k₁＜-2或-

1

2

＜k1＜0．   （12分）
又点A的纵坐标y₁满足y1=-(k1+1)2，
故当k₁＜-2时，y₁＜-1；当-

1

2

＜k1＜0时，-1＜y1＜-

1

4

．
即y1∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)（13分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．