Question

已知抛物线C：y=x²+4x+

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，过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线．
（1）若抛物线C在点M的法线的斜率为-

1

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，求点M的坐标（x₀，y₀）；
（2）设P（-2，4）为C对称轴上的一点，在C上一定存在点，使得C在该点的法线通过点P．试求出这些点，以及C在这些点的法线方程．

Answer 1

分析：（1）由切线和法线垂直，则其斜率之积等于-1，可得M处的切线的斜率k=2，再根据导数的几何意义，结合已知即可求得点M的坐标；
（2）分x₀=-2和x₀≠-2两种情况讨论，若x₀=-2，则C上点M(-2，-

1

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)处的切线斜率k=0，若x₀≠-2，则过点M（x₀，y₀）的法线方程为：y-y0=-

1

2x0+4

(x-x0)．分别求得法线方程即可．

解答：解：（1）函数y=x2+4x+

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的导数y′=2x+4，点（x₀，y₀）处切线的斜率k₀=2x₀+4、
∵过点（x₀，y₀）的法线斜率为-

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，∴-

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（2x₀+4）=-1，解得x₀=-1，y0=

1

2

．故点M的坐标为（-1，

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）．
2设M（x₀，y₀）3为C上一点，
（2）若x₀=-2，则C上点M(-2，-

1

2

)处的切线斜率k=0，
过点M(-2，-

1

2

)的法线方程为x=-2，法线过点P（-2，4）；
若x₀≠-2，则过点M（x₀，y₀）的法线方程为：y-y0=-

1

2x0+4

(x-x0)．
若法线过点P（-2，4），则4-y0=-

1

2x0+4

(-2-x0)，
解得x₀=0，y0=

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，得x+4y-14=0，或者x₀=-4，y0=

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，得x-4y+18=0．
综上，在C上有点（0，

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），（-4，

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）及(-2，-

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)，
在该点的法线通过点P，法线方程分别为x+4y-14=0，x-4y+18=0，x=-2

点评：本题通过曲线的切线和法线问题，考查了导数的运算和几何意义，同时综合运用了分类讨论的数学思想，难度较大．