Question

已知抛物线C：y=ax²（a＞0）的焦点到准线的距离为

1

4

，且C上的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，并且x1x2=-

1

2

，那么m=

3

2

．

Answer 1

分析：先由抛物线的定义p的意义可求出a，根据C上的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称可设出直线AB的方程，把直线AB的方程与抛物线的方程联立，根据根与系数的关系即可得出直线AB的方程，再根据线段AB关于直线y=x+m对称性即可求出m的值．

解答：解：∵抛物线C：y=ax²（a＞0）的焦点到准线的距离为

1

4

，
∴

1

2a

=

1

4

，解得a=2．
∴抛物线C的方程为：y=2x²（a＞0）．
∵抛物线C上的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，
∴可设直线AB的方程为y=-x+t．
联立

y=-x+t y=2x2

，消去y得2x²+x-t=0，
∵直线AB与抛物线相较于不同两点，∴△=1+4t＞0．
据根与系数的关系得，x1+x2=-

1

2

，x1x2=-

t

2

，由已知x1x2=-

1

2

，∴t=1．
于是直线AB的方程为y=-x+1，
设线段AB的中点为M（x_M，y_M），则xM=

x1+x2

2

=-

1

4

，
∴y_M=-(-

1

4

)+1=

5

4

．
把M(-

1

4

，

5

4

)代入直线y=x+m得

5

4

=-

1

4

+m，解得m=

3

2

．
故答案为

3

2

．

点评：熟练掌握抛物线的定义p的意义、直线（或线段）关于直线的对称性、中点坐标公式是解题的关键．